Учи Кванты! → Курс → Запутанность

Запутанность и CNOT

Появляется второй кубит и с ним - одно из самых интересных и загадочных квантовых явлений — запутанность.

О чём этот урок

До сих пор в наших уроках был всего один кубит: две амплитуды и одна точка на сфере. Сейчас рядом появится второй кубит — а вместе с ним одно из самых интересных квантовых явлений. Оно называется запутанность.

Сразу договоримся, на что смотреть. На экране две сферы — по одной на каждый кубит, q0 и q1. Рядом — панель амплитуд и гистограмма исходов. Оба кубита пока в состоянии |0⟩, поэтому обе стрелки смотрят вверх, а весь вес стоит на исходе |00⟩. Дальше мы шаг за шагом соберём из этой пары запутанное состояние и посмотрим, что при этом случится со сферами.

Состояние пары — четыре амплитуды

Когда кубитов два, у пары уже не две амплитуды, а четыре. И это не «две отдельные точки на двух сферах». Это одно общее состояние пары, и у него четыре амплитуды — по одной на каждую пару битов: |00⟩, |01⟩, |10⟩ и |11⟩. Их видно на панели амплитуд: четыре полоски, по одной на каждый исход. Сейчас весь вес на |00⟩, поэтому горит только первая полоска, а остальные три пустые.

При измерении всё как раньше: вероятность каждого исхода равна квадрату длины его амплитуды. Просто исходов теперь не два, а четыре.

И ещё про запись, чтобы дальше не путаться. В метке |q1 q0⟩ правая цифра — это кубит q0, а левая — кубит q1. Например, запись |01⟩ означает, что q0 равен 1, а q1 равен 0. Текст на русском - читаем слева направо, кубиты - справа налево. Это нужно просто запомнить.

Следите за руками! Шаг 1 - Адамар на первом кубите

Теперь применим к первому кубиту, q0, гейт Адамара — и посмотрим на сферы. Стрелка q0 легла на экватор: это состояние |+⟩, равная суперпозиция. А второй кубит, q1, как был в |0⟩, так и остался — его стрелка по-прежнему смотрит вверх. Обе стрелки полной длины.

Такую пару легко описать по отдельности: первый кубит в состоянии |+⟩, второй в состоянии |0⟩. У каждого своё состояние, своя точка на своей сфере. В паре, которую вот так можно разложить на два отдельных кубита, никакой запутанности нет.

Независимость — это умножение

Пока кубиты независимы, четыре амплитуды пары устроены просто: каждая из них — произведение амплитуд отдельных кубитов. Точно так же перемножаются вероятности независимых событий: вероятность «у первого выпало то, у второго — это» равна произведению вероятностей.

Проверим на нашей паре. Кубит q0 сейчас в состоянии (|0⟩+|1⟩)/√2, кубит q1 — в |0⟩. Перемножаем: у |00⟩ и |10⟩ получается по 1/√2, а у |01⟩ и |11⟩ — нули. Ровно эта картина и горит на панели амплитуд.

Пока четыре амплитуды раскладываются в такое произведение, у каждого кубита есть своё состояние. Такую пару называют разделимой. А теперь главный вопрос урока: бывает ли четвёрка амплитуд, которую НЕЛЬЗЯ получить умножением?

Шаг 2 — CNOT, и кубиты запутываются

Применяем новый гейт — CNOT. Его правило разберём подробно чуть позже, а пока достаточно одной фразы: если управляющий кубит q0 равен 1 — перевернуть целевой кубит q1, если 0 — не делать ничего.

Но наш управляющий кубит после Адамара не 0 и не 1: в нём две ветви сразу. А гейт не выбирает одну из ветвей — он работает в каждой. В ветви, где q0 = 0, условие не сработало, и осталось |00⟩. В ветви, где q0 = 1, условие сработало, q1 перевернулся — получилось |11⟩. Вот и весь результат: (|00⟩+|11⟩)/√2. Это состояние знаменито, у него есть имя — пара Белла.

Теперь попробуем разложить его на «q0 в своём состоянии, q1 — в своём». Раз |00⟩ не пустая, у обоих кубитов не пустые «нулевые половины». Раз |11⟩ не пустая — не пустые и «единичные». Но тогда произведение обязано зажечь и |01⟩ — а она пустая. Не сходится. Это состояние не раскладывается ни в какое произведение.

У этой пары в принципе нет «состояния первого кубита» и «состояния второго» — состояние есть только у пары целиком. Это и называется запутанностью. Никакой магии: развилка от Адамара плюс условное действие CNOT — и вся определённость переехала из отдельных кубитов в их связь.

Почему стрелки ушли в центр

Посмотрите на сферы: обе стрелки укоротились и спрятались в самый центр. Разберёмся, почему они исчезли совсем, а не просто повернулись куда-то.

Точка на сфере означает: есть направление, в котором результат измерения предсказуем. Теперь посмотрите на q1 в одиночку, не заглядывая в q0. В одной ветви он ноль, в другой — единица, и ветви равноправны. Какую ось для измерения ни выбери — выйдет 50 на 50. Предсказуемого направления нет ни одного: вся определённость хранится не в самом кубите, а в его согласии с партнёром. Точке просто негде стоять — поэтому длина стрелки ноль.

Исчезновение стрелок — визуальное напоминание: у запутанной пары отдельные сферы уже ничего не описывают. Пространство состояний пары заметно больше, чем у одного кубита, — на поверхности сферы было два измерения, у пары их уже шесть, — и ни на какой наглядный рисунок оно не помещается. Дальше, когда будем работать с запутанными кубитами, сферу мы рисовать больше не будем.

CNOT — гейт, который запутывает

Вот тот самый новый гейт. Он называется CNOT, или управляемое НЕ, и это первый гейт, который действует сразу на два кубита. В коде его пишут так: cx q[0], q[1].

Правило у него простое. Один кубит — управляющий, другой — целевой. Если управляющий кубит равен 1, целевой переворачивается. Если управляющий равен 0, не происходит ничего. По сути это обычное НЕ, у которого появилось условие.

Сейчас на экране таблица: что CNOT делает с каждым входом. Возьмём вход |01⟩. Правая цифра — это управляющий кубит q0, и он равен 1. Условие сработало, и целевой кубит q1 переворачивается с 0 на 1 — получается |11⟩. А для входа, где управляющий равен 0, выход совпадает со входом: ничего не поменялось.

Порядок аргументов важен. В записи cx q[0], q[1] первый кубит — управляющий, второй — целевой. Поменяешь их местами — получишь другой результат.

И вот теперь можно ответить на вопрос, почему запутывает именно пара «H, потом CNOT». В этих двух гейтах нет ничего особенного. Для запутанности нужны две вещи: развилка и условие. H создаёт развилку — суперпозицию управляющего кубита. CNOT добавляет условие — действие на второй кубит, разное в двух ветвях. Уберите любую из частей, и запутанность не появится: CNOT на обычном входе просто переворачивает бит по таблице, а суперпозиция без условного гейта оставляет кубиты независимыми. Годится и любая другая пара «развилка + условие» — H и CNOT просто самые простые.

Теперь еще раз - как рождается пара Белла (запутанная пара)

Теперь, когда мы знаем оба гейта, снова соберём пару Белла целиком, понимая каждый шаг.

Схема короткая, всего два шага. Сначала гейт Адамара на первый кубит — он переводит q0 в суперпозицию, и пара пока ещё разделимая. Потом CNOT — и кубиты запутываются. Получается пара Белла (|00⟩+|11⟩)/√2. Измерение даёт либо 00, либо 11, ровно поровну, а 01 и 10 не выпадают никогда.

Можете сами походить по шагам — кнопки «шаг» над сферами листают сборку вперёд и назад. Видно, как ровно на шаге с CNOT обе стрелки уходят в центр: до него пара разделимая, после него — запутанная.

Кубиты в паре Белла связаны намертво. Увидели у одного кубита 0 — у второго точно 0. Увидели 1 — точно 1. Перекрёстных исходов 01 и 10 не бывает.

Запутанность не подразумевает никакую "передачу информации быстрее скорости света"

Стоит отдельно обсудить одно свойство запутанной пары, которое часто понимают неправильно.

Делим запутанную пару. Первый кубит забрала Алиса, второй достался Бобу, и Боб улетел с ним далеко-далеко — хоть на другую планету. Каждый измеряет свой кубит. Каждый видит случайный результат, 50 на 50. Но стоит им потом сравнить записи — результаты всегда совпадают: либо у обоих 0, либо у обоих 1. Это феномен, который сразу в голову не укладывается. Мы позже обсудим, что тот факт, что они «не договорились заранее», имеет и теоретическое и экспериментальное обоснование.

Ведь возникает соблазн сказать: раз результаты связаны, значит, Алиса своим измерением что-то передала Бобу. Но это не так. Исход у Алисы случайный, она не может им управлять и не может выбрать, что именно выпадет. А Боб, пока не сравнил записи с Алисой, видит просто случайные нули и единицы — для него ничего не изменилось.

Связь между кубитами становится явной и заметной, только когда Алиса и Боб сравнивают свои записи. А чтобы сравнить, им нужен обычный канал связи — телефон, письмо, — и он не быстрее скорости света. Поэтому запомним важную мысль: связь между запутанными кубитами есть, но передать по ней сообщение нельзя. Подробнее об этом мы поговорим дальше, эта тема с нами надолго.

Дальше урок продолжается интерактивом — откройте его на сайте.