Учи Кванты! → Курс → Запутанность

Запутанность и CNOT

Появляется второй кубит и с ним - одно из самых интересных и загадочных квантовых явлений — запутанность.

О чём этот урок

До сих пор в наших уроках был всего один кубит: две амплитуды и одна точка на сфере. Сейчас рядом появится второй кубит — а вместе с ним одно из самых интересных квантовых явлений. Оно называется запутанность.

Сразу договоримся, на что смотреть. На экране две сферы — по одной на каждый кубит, q0 и q1. Рядом — панель амплитуд и гистограмма исходов. Оба кубита пока в состоянии |0⟩, поэтому обе стрелки смотрят вверх, а весь вес стоит на исходе |00⟩. Дальше мы шаг за шагом соберём из этой пары запутанное состояние и посмотрим, что при этом случится со сферами.

Состояние пары — четыре амплитуды

Когда кубитов два, у пары уже не две амплитуды, а четыре. И это не «две отдельные точки на двух сферах». Это одно общее состояние пары, и у него четыре амплитуды — по одной на каждую пару битов: |00⟩, |01⟩, |10⟩ и |11⟩. Их видно на панели амплитуд: четыре полоски, по одной на каждый исход. Сейчас весь вес на |00⟩, поэтому горит только первая полоска, а остальные три пустые.

При измерении всё как раньше: вероятность каждого исхода равна квадрату длины его амплитуды. Просто исходов теперь не два, а четыре.

И ещё про запись, чтобы дальше не путаться. В метке |q1 q0⟩ правая цифра — это кубит q0, а левая — кубит q1. Например, запись |01⟩ означает, что q0 равен 1, а q1 равен 0. Текст на русском - читаем слева направо, кубиты - справа налево. Это нужно просто запомнить.

Следите за руками! Шаг 1 - Адамар на первом кубите

Теперь применим к первому кубиту, q0, гейт Адамара — и посмотрим на сферы. Стрелка q0 легла на экватор: это состояние |+⟩, равная суперпозиция. А второй кубит, q1, как был в |0⟩, так и остался — его стрелка по-прежнему смотрит вверх. Обе стрелки полной длины.

Такую пару легко описать по отдельности: первый кубит в состоянии |+⟩, второй в состоянии |0⟩. У каждого своё состояние, своя точка на своей сфере. В паре, которую вот так можно разложить на два отдельных кубита, никакой запутанности нет.

Независимость — это умножение

Пока кубиты независимы, четыре амплитуды пары устроены просто: каждая из них — произведение амплитуд отдельных кубитов. Точно так же перемножаются вероятности независимых событий: вероятность «у первого выпало то, у второго — это» равна произведению вероятностей.

Проверим на нашей паре. Кубит q0 сейчас в состоянии (|0⟩+|1⟩)/√2, кубит q1 — в |0⟩. Перемножаем: у |00⟩ и |10⟩ получается по 1/√2, а у |01⟩ и |11⟩ — нули. Ровно эта картина и горит на панели амплитуд.

Пока четыре амплитуды раскладываются в такое произведение, у каждого кубита есть своё состояние. Такую пару называют разделимой. А теперь главный вопрос урока: бывает ли четвёрка амплитуд, которую НЕЛЬЗЯ получить умножением?

Шаг 2 — CNOT, и кубиты запутываются

Применяем новый гейт — CNOT. Его правило разберём подробно чуть позже, а пока достаточно одной фразы: если управляющий кубит q0 равен 1 — перевернуть целевой кубит q1, если 0 — не делать ничего.

Но наш управляющий кубит после Адамара не 0 и не 1: в нём две ветви сразу. А гейт не выбирает одну из ветвей — он работает в каждой. В ветви, где q0 = 0, условие не сработало, и осталось |00⟩. В ветви, где q0 = 1, условие сработало, q1 перевернулся — получилось |11⟩. Вот и весь результат: (|00⟩+|11⟩)/√2. Это состояние знаменито, у него есть имя — пара Белла.

Теперь попробуем разложить его на «q0 в своём состоянии, q1 — в своём». Раз |00⟩ не пустая, у обоих кубитов не пустые «нулевые половины». Раз |11⟩ не пустая — не пустые и «единичные». Но тогда произведение обязано зажечь и |01⟩ — а она пустая. Не сходится. Это состояние не раскладывается ни в какое произведение.

У этой пары в принципе нет «состояния первого кубита» и «состояния второго» — состояние есть только у пары целиком. Это и называется запутанностью. Никакой магии: развилка от Адамара плюс условное действие CNOT — и вся определённость переехала из отдельных кубитов в их связь.

Почему стрелки ушли в центр

Посмотрите на сферы: обе стрелки укоротились и спрятались в самый центр. Разберёмся, почему они исчезли совсем, а не просто повернулись куда-то.

Точка на сфере означает: есть направление, в котором результат измерения предсказуем. Теперь посмотрите на q1 в одиночку, не заглядывая в q0. В одной ветви он ноль, в другой — единица, и ветви равноправны. Какую ось для измерения ни выбери — выйдет 50 на 50. Предсказуемого направления нет ни одного: вся определённость хранится не в самом кубите, а в его согласии с партнёром. Точке просто негде стоять — поэтому длина стрелки ноль.

Исчезновение стрелок — визуальное напоминание: у запутанной пары отдельные сферы уже ничего не описывают. Пространство состояний пары заметно больше, чем у одного кубита, — на поверхности сферы было два измерения, у пары их уже шесть, — и ни на какой наглядный рисунок оно не помещается. Дальше, когда будем работать с запутанными кубитами, сферу мы рисовать больше не будем.

CNOT — гейт, который запутывает

Вот тот самый новый гейт. Он называется CNOT, или управляемое НЕ, и это первый гейт, который действует сразу на два кубита. В коде его пишут так: cx q[0], q[1].

Правило у него простое. Один кубит — управляющий, другой — целевой. Если управляющий кубит равен 1, целевой переворачивается. Если управляющий равен 0, не происходит ничего. По сути это обычное НЕ, у которого появилось условие.

Сейчас на экране таблица: что CNOT делает с каждым входом. Возьмём вход |01⟩. Правая цифра — это управляющий кубит q0, и он равен 1. Условие сработало, и целевой кубит q1 переворачивается с 0 на 1 — получается |11⟩. А для входа, где управляющий равен 0, выход совпадает со входом: ничего не поменялось.

Порядок аргументов важен. В записи cx q[0], q[1] первый кубит — управляющий, второй — целевой. Поменяешь их местами — получишь другой результат.

И вот теперь можно ответить на вопрос, почему запутывает именно пара «H, потом CNOT». В этих двух гейтах нет ничего особенного. Для запутанности нужны две вещи: развилка и условие. H создаёт развилку — суперпозицию управляющего кубита. CNOT добавляет условие — действие на второй кубит, разное в двух ветвях. Уберите любую из частей, и запутанность не появится: CNOT на обычном входе просто переворачивает бит по таблице, а суперпозиция без условного гейта оставляет кубиты независимыми. Годится и любая другая пара «развилка + условие» — H и CNOT просто самые простые.

Теперь еще раз - как рождается пара Белла (запутанная пара)

Теперь, когда мы знаем оба гейта, снова соберём пару Белла осознанно, целиком.

Схема короткая, всего два шага. Сначала гейт Адамара на первый кубит — он переводит q0 в суперпозицию, и пара пока ещё разделимая. Потом CNOT — и кубиты запутываются. Получается пара Белла (|00⟩+|11⟩)/√2. Измерение даёт либо 00, либо 11, ровно поровну, а 01 и 10 не выпадают никогда.

Можете сами походить по шагам — кнопки «шаг» над сферами листают сборку вперёд и назад. Видно, как ровно на шаге с CNOT обе стрелки уходят в центр: до него пара разделимая, после него — запутанная.

Кубиты в паре Белла связаны намертво. Увидели у одного кубита 0 — у второго точно 0. Увидели 1 — точно 1. Перекрёстных исходов 01 и 10 не бывает.

Запутанность не подразумевает никакую "передачу информации быстрее скорости света"

Стоит отдельно обсудить одно свойство запутанной пары, которое часто понимают неправильно.

Делим запутанную пару. Первый кубит забрала Алиса, второй достался Бобу, и Боб улетел с ним далеко-далеко — хоть на другую планету. Каждый измеряет свой кубит. Каждый видит случайный результат, 50 на 50. Но стоит им потом сравнить записи — результаты всегда совпадают: либо у обоих 0, либо у обоих 1. Это феномен, который сразу в голову не укладывается. Мы позже обсудим, что тот факт, что они "не договорились заранее" имеет и теоретическое и экспериментальное обоснование.

Ведь возникает соблазн сказать: раз результаты связаны, значит, Алиса своим измерением что-то передала Бобу. Но это не так. Исход у Алисы случайный, она не может им управлять и не может выбрать, что именно выпадет. А Боб, пока не сравнил записи с Алисой, видит просто случайные нули и единицы — для него ничего не изменилось.

Связь между кубитами становится явной и заметной, только когда Алиса и Боб сравнивают свои записи. А чтобы сравнить, им нужен обычный канал связи — телефон, письмо, — и он не быстрее скорости света. Поэтому запомним важную мысль: связь между запутанными кубитами есть, но передать по ней сообщение нельзя. Подробнее об этом мы поговорим дальше, эта тема с нами надолго.

Дальше урок продолжается интерактивом — откройте его на сайте.